Leibniz' konvergenskriterium

Det här kommer att bli ett komplicerat inlägg, försök gärna att förstå, det är lite mindfucking hur folk kommit på det här! 

Teckenförklaring:

∞ - oändligheten

Σk=x, n ak - summan av alla ak från x till n (n ska egentligen vara ovanför sigmatecknet)

SATS: 

ak är en positiv och avtagande talföljd, alltså a1 > a2 > ... > 0

Σk=1, ∞ (-1)^(k-1) ak konvergerar, dvs har ett existerande värde (är inte oändligt stort eller litet)

BEVIS:

Betrakta delsummorna s2n med jämnt index, eftersom

s2n = (a1 - a2) + (a3 - a4) + ... + (a2n-1 - a2n) = s2(n-1)  + a2n-1 - a2n och

alla (an - an+1) > 0 för varje n enligt förutsättningarna

man kan också skriva: 

s2n = a1 - (a2 - a3) - (a4 - a5) - ... - (a2n-2 - a2n-1) - a2n < a1 ( vänsterled är samma sak som a1 - massa termer)

Det betyder att talföljden s2n är växande och uppåt begränsad och därför konvergent, enligt en annan sats som jag inte tänker gå in på, alltså det finns ett gränsvärde s för talföljden s2n då n går mot ∞

Betraka nu delsummorna med udda index. Eftersom

s2n+1 = s2n + a2n+1

och ak går mot 0 & sk går mot s då k går mot ∞ så följer att även

gränsvärdet då n går mot ∞ för s2n+1 är lika med gränsvärdet för s2n + gränsvärdet för a2n+1 alltså s + 0 = s

alltså är också gränsvärdet för sn = s då n går mot ∞, dvs serien är konvergent. 

Dragonsheep of Doom says:
BÄK(beviset är klart).